Question

8．已知椭圆的焦点在坐标轴上，两焦点的中点为原点，且椭圆经过两点（$\sqrt{6}$，1）和（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），求椭圆的方程、顶点坐标、焦点坐标和离心率．

Answer 1

分析 对焦点分类讨论，设出椭圆的标准方程，代入解出a²，b²，c²=a²-b²，进而得出．

解答 解：（1）设焦点在x轴上，则可设标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
把（$\sqrt{6}$，1）和（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），代入可得：$\frac{6}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}$=1，$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{2}{{b}^{2}}$=1，解得a²=9，b²=3，c²=a²-b²=6．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，顶点坐标为（±3，0），$（0，±\sqrt{3}）$，焦点坐标为$（±\sqrt{6}，0）$，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）设焦点在y轴上，则可设标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
把（$\sqrt{6}$，1）和（-$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），代入，无解．
综上所述，椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，顶点坐标为（±3，0），$（0，±\sqrt{3}）$，焦点坐标为$（±\sqrt{6}，0）$，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．