Question

1．求y=$\frac{3-sinx}{2-cosx}$的值域．

Answer 1

分析 可以将原函数变成sinx-ycosx=3-2y，根据两角差的正弦公式即可得到$\sqrt{1+{y}^{2}}$sin（x-φ）=3-2y，从而由|sinx|≤1即可得到关于y的不等式，解该不等式即可得出原函数的值域．

解答 解：由原函数得，2y-ycosx=3-sinx；
∴sinx-ycosx=3-2y；
∴$\sqrt{1+{y}^{2}}$sin（x-φ）=3-2y，tanφ=y；
∴sin（x-φ）=$\frac{3-2y}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$；
∴$\frac{|3-2y|}{\sqrt{1+{y}^{2}}}≤1$；
∴（3-2y）²≤1+y²，解得$2-\frac{2\sqrt{3}}{3}≤y≤2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴原函数的值域为：[2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]．

点评 考查函数值域的概念，两角差的正弦公式，正弦函数的值域，通过平方解含绝对值及无理不等式的方法，以及解一元二次不等式．