题目内容

11．已知f（x）=x-ln（x+a）（a＞0）的最小值为0，求f（x）的解析式．

分析 对f（x）进行求导，已知f（x）的最小值为0，可得极小值也为0，得f′（0）=0，从而求出a的值，则函数解析式可求．

解答 解：函数f（x）=x-ln（x+a）（a＞0）的定义域为（-a，+∞），
f′（x）=1-$\frac{1}{x+a}$=$\frac{x+a-1}{x+a}$，（x+a＞0）
令f′（x）=0，可得x=1-a＞-a，
令f′（x）＞0，x＞1-a，f（x）为增函数；
f′（x）＜0，-a＜x＜1-a，f（x）为减函数；
∴x=1-a时，函数取得极小值也是最小值，
∵函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，
∴f（1-a）=1-a=0，得a=1．
∴f（x）=x-ln（x+1）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查函数解析式的求法，是中档题．

练习册系列答案
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