Question

如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，过顶点B、D、C₁作截面，则二面角B-DC₁-C的平面角的余弦值是

3

3

．

Answer 1

分析：以A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，根据正方体的几何特征，分别求出平面DC₁C的一个法向量和平面BDC₁的一个法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答：解：以A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a
则由正方体的几何特征可得

AD

=（0，a，0）是平面DC₁C的一个法向量；
设平面BDC₁的法向量为

m

=（x，y，z）
由

BD

=（-a，a，0），

BC1

=（0，a，a），

m

⊥

BD

，

m

⊥

BD

得

-ax+ay=0 ay+az=0

令x=1，则

m

=（1，1，-1）为平面BDC₁的一个法向量
设二面角B-DC₁-C的平面角为θ
则cosθ=

| AD • m |

| AD |•| m |

=

a

a• 3

=

3

3

故答案为：

3

3

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．