Question

如图所示，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB和AA₁的中点.

求证：（1）E，C，D₁，F四点共面；

（2）CE，D₁F，DA三线共点.

Answer 1

证明略

解析:

（1）如图所示，连接CD₁，EF，A₁B，

∵E、F分别是AB和AA₁的中点，

∴EF∥A₁B且EF=A₁B，

又∵A₁D₁    BC,

∴四边形A₁BCD₁是平行四边形，∴A₁B∥CD₁，∴EF∥CD₁，

∴EF与CD₁确定一个平面，

∴E，F，C，D₁∈，

即E，C，D₁，F四点共面.

（2）由（1）知EF∥CD₁，且EF=CD₁，

∴四边形CD₁FE是梯形，

∴CE与D₁F必相交，设交点为P，

则P∈CE平面ABCD，

且P∈D₁F平面A₁ADD₁，

∴P∈平面ABCD且P∈平面A₁ADD₁.

又平面ABCD∩平面A₁ADD₁=AD，

∴P∈AD，∴CE，D₁F，DA三线共点.