Question

．如图，棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC＝60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC＝60°.(1)求异面直线BD和AA₁所成的角；(2)求二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值；(3)在直线CC₁上否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

 [解析]　连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A₁O，在△AA₁O中，AA₁＝2，AO＝1，∠A₁AO＝60°，

∴A₁O²＝AA₁²＋AO²－2AA₁·AO·cos60°＝3.∴AO²＋A₁O²＝AA₁².

∴A₁O⊥AO，∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∴A₁O⊥平面ABCD.

∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(－，0,0)，A₁(0,0，)．

(1)∵＝(－2，0,0)，＝(0,1，)，

∴·＝0×(－2)＋1×0＋×0＝0，

∴BD⊥AA₁，即异面直线BD和AA₁所成的角为90°.

(2)∵OB⊥平面AA₁C₁C，

∴平面AA₁C₁C的法向量n₁＝(1,0,0)．

设n₂＝(x，y，z)是平面AA₁D的一个法向量，则

∴取n₂＝(1，，－1)．

∴cos〈n₁，n₂〉＝＝.

∴二面角D—A₁A—C的平面角的余弦值是.

(3)假设在直线CC₁上存在点P，使BP∥平面DA₁C，

设＝λ，P(x，y，z)，

则(x，y－1，z)＝λ(0,1，)．

∴P(0,1＋λ，λ)，＝(－，1＋λ，λ)．

设n₃＝(x₃，y₃，z₃)是平面DA₁C₁的一个法向量，则

∴不妨取n₃＝(1,0，－1)．

又∵∥平面DA₁C₁，∴n₃·＝0，

∴－－λ＝0，∴λ＝－1，

即点P在C₁C的延长线上，且使C₁C＝CP.