题目内容

对于函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx-1（x∈R）给出下列命题：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f（x）在区间[
π
2
，
5π
8
]上是减函数；
③直线x=
π
8
是f（x）的图象的一条对称轴；
④f（x）的图象可以由函数y=
2
sin2x的图象向左平移
π
4
而得到．
其中正确命题的序号是
②③
②③
（把你认为正确的都填上）．
分析：由于f（x）=2cos2x+2sinxcosx-1=
2
sin（2x+
π
4
），利用正弦函数的性质对①②③④诸项判断即可．
解答：解：∵f（x）=2cos2x+2sinxcosx-1=
2
sin（2x+
π
4
），
∴T=
2π
2
=π，①不对；
由2kπ+
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
3π
2
得：kπ+
π
8
≤x≤kπ+
5π
8
，k∈Z．当k=0时，
π
8
≤x≤
5π
8
，
显然，[
π
2
，
5π
8
]?[
π
8
，
5π
8
]，
∴f（x）在区间[
π
2
，
5π
8
]上是减函数正确，即②正确；
对于③，f（0）=
2
×
2
2
=1，f（
π
4
）=
2
sin
3π
4
=
2
×
2
2
=1，即f（0）=f（
π
4
），
故直线x=
π
8
是f（x）的图象的一条对称轴，正确，即③正确；
④，函数y=
2
sin2x的图象向左平移
π
4
而得到：y=
2
sin2（x+
π
4
）=
2
cos2x≠
2
sin（2x+
π
4
），即④错误．
综上所述，正确命题的序号是②③．
故答案为：②③．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考察正弦函数的周期性、单调性、对称性及化简求值，考查三角函数的综合运用能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
对于函数f（x）定义域中任意的x1、x2（x1≠x2）有如下结论：
①f（x1+x2）=f（x1）f（x2）
②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0
④f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2

当f（x）=2x时，上述结论中正确结论的序号是
①③④
①③④
．
对于函数f（x）=lg|x-2|+1，有如下三个命题：
①f（x+2）是偶函数；
②f（x）在区间（-∞，2）上是减函数，在区间（2，+∞）上是增函数；
③f（x+2）-f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．
其中正确命题的序号是
①，②
①，②
．（将你认为正确的命题序号都填上）
已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正实数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）对于函数F（x）及其定义域D，若存在x0∈D，使F（x0）=x0成立，则称x0为F（x）的不动点．若f（x）+g（x）+b在其定义域内存在不动点，求实数b的取值范围；
（3）若n为正整数，证明：10f(n)•(
4
5
)g(n)＜4．
（参考数据：lg3=0.3010，(
4
5
)9=0.1342，(
4
5
)16=0.0281，(
4
5
)25=0.0038）
给出定义：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即 {x}=m．在此基础上有函数f(x)=|x-{x}
.
_  
(x∈
．
（1）求f(4)，f(-
1
2
)，f(-8.3)的值；
（2）对于函数f（x），现给出如下一些判断：
①函数y=f（x）是偶函数；
②函数y=f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）在区间(-
1
2
，
1
2
]上单调递增；
④函数y=f（x）的图象关于直线x=k+
1
2
 &(k∈Z)
对称；
请你将以上四个判断中正确的结论全部选择出来，并选择其中一个加以证明；
（3）若-206＜x≤207，试求方程f(x)=
9
23
的所有解的和．
对于函数f（x）=
2
（sin x+cos x），给出下列四个命题：
①存在a∈(-
π
2
，0)，使f（α）=
2
；
②存在α∈(0，
π
2
)，使f（x-α）=f（x+α）恒成立；
③存在φ∈R，使函数f（x+φ）的图象关于坐标原点成中心对称；
④函数f（x）的图象关于直线x=-
3π
4
对称；
⑤函数f（x）的图象向左平移
π
4
个单位长度就能得到y=-2cos x的图象．
其中正确命题的序号是（　　）

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