Question

20．自⊙O外一点p引切线与⊙O切于点A，M为PA的中点，过M引割线交⊙O于B、C两点．
求证：
（Ⅰ）PM²=MB•MC；
（Ⅱ）∠MCP=∠MPB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据切割线定理，得到AM是MB和MC的比例中项，结合AM=MP即可证明PM²=MB•MC；
（Ⅱ）由MP²=MB•MC得$\frac{PM}{MC}=\frac{MB}{PM}$，再结合公共角∠BMP=∠PMC，得三角形BMP与三角形PMC相似，从而得到对应角相等，命题得证．

解答 证明：（Ⅰ）∵AM切圆于点A
∴AM²=MB•MC
又∵M为PA中点，AM=MP
∴MP²=MB•MC；
（Ⅱ）∵MP²=MB•MC，
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{MB}{PM}$，
又∵∠BMP=∠PMC
∴△BMP∽△PMC（边角边）
∴∠MCP=∠MPB．

点评 本题考查了圆当中的比例线段，以及三角形相似的有关知识点，属于中档题．找到题中的相似三角形来证明角的相等，是解决本题的关键．