Question

【题目】如图，已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的一个焦点为，是椭圆上一点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的上下顶点分别为，，是椭圆上异于的任意一点，轴，为垂足，为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点.

①求证：；

②若的面积为，求的值；

Answer 1

【答案】（1）（2）①证明见解析；②

【解析】

(1)设椭圆方程为,由题意,得,再由是椭圆上的一个点,即可求出椭圆方程;

(2)根据题意,求出直线AB的方程、点M,C,N的坐标,计算,可得,再利用,结合椭圆方程,求解可得结果.

（1）设椭圆方程为，

由题意，得.因为，所以.

又是椭圆上的一个点，所以，

解得或(舍去)，

所以椭圆的标准方程为.

（2）①解：因为，，则，且.

因为为线段中点，所以.

又，所以直线的方程为.

因为，∴

令，得，

又，为线段的中点，有，

所以.

因此，

.

所以.

②由①知，.

因为，

所以在中，，

因此，从而有，

解得.