Question

函数是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且．
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．

Answer 1

解：（1）若函数是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，
则f（-x）==-f（x）=-
解得b=0
又∵．
∴=
解得a=1
故
（2）任取区间（-1，1）上两个任意的实数m，n，且m＜n
则f（m）-f（n）==
∵m²+1＞0，n²+1＞0，m-n＜0，1-mn＞0
∴f（m）-f（n）＜0
即f（m）＜f（n）
∴f（x）在（-1，1）上是增函数
分析：（1）根据奇函数的性质，f（-x）=-f（x），及．及构造关于a，b的方程，解方程可求出实数a，b的值，进而得到函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）中函数的解析式，任取区间（-1，1）上两个任意的实数，然后分析它们所对应的函数值的大小，进而根据函数单调性的定义，即可得到结论．
点评：本题考查的知识点是奇函数，函数单调性的证明，其中（1）的关键是根据奇函数的性质求出a值，（2）的关键是化简后对函数值差的符号的判断．