Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n和前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．变形为a_n+1+1=2（a_n+1）．即可证明．
（2）由（1）可得：a_n+1=2ⁿ，可得a_n=2ⁿ-1，利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．∴a_n+1+1=2（a_n+1）．
∴数列{a_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
（2）解：由（1）可得：a_n+1=2ⁿ，可得a_n=2ⁿ-1，
可得前n项和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n=2ⁿ⁺¹-2-n．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．