Question

已知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），满足f（a•b）=f（a）+f（b），且对任意x＞1，都有f（x）＞0．
（1）求证：f（

1

x

）=-f（x）；
（2）求证：f（

a

b

）=f（a）-f（b）；
（3）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（4）若f（4）=1，解不等式f（2x+1）-f（1-x）＞

1

2

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）令a=b=1，代入得：f（1）=0；令a=

1

x

，b=x，可得结论；
（2）f（a）=f（

a

b

•b）=f（

a

b

）+f（b），可得结论；
（3）利用单调性的定义证明即可；
（4）不等式f（2x+1）-f（1-x）＞

1

2

，等价于2x+1＞2（1-x）＞0．

解答： （1）证明：∵对任意的a，b∈（0，+∞）都有f（a•b）=f（a）+f（b），
∴令a=b=1，代入得：f（1）=0，
令a=

1

x

，b=x，则f（1）=f（

1

x

）+f（x）=0，
∴f（

1

x

）=-f（x）；
（2）证明：∵f（a）=f（

a

b

•b）=f（

a

b

）+f（b），
∴f（

a

b

）=f（a）-f（b）；
（3）证明：令0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
∵对任意x＞1，都有f（x）＞0，
∴f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（4）解：f（4）=1=f（2）+f（2），∴f（2）=

1

2

．
∵f（2x+1）-f（1-x）＞

1

2

．
∴2x+1＞2（1-x）＞0，
∴

1

4

＜x＜1，即不等式的解集为{x|

1

4

＜x＜1}．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法及转化与运算能力，属于中档题．