题目内容
已知函数f（x）的导函数f′（x）=ex-1（e为自然对数的底数，f（x）解析式无常数项）
（1）求f（x）的最小值；
（2）若对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若对于任意的x∈[0，2]，不等式f（x）≥ax恒成立，求实数a的取值范围．
考点：函数最值的应用,函数单调性的性质
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（1）求出原函数，根据导数的正负，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）≥ax恒成立，等价于（a+1）x＜ex，将（a+1）x＜ex变形为a＜
-1，求出g（x）的最小值，即可求实数a的取值范围．
（2）不等式f（x）≥ax恒成立，等价于（a+1）x＜ex，将（a+1）x＜ex变形为a＜
| ex |
| x |
解答：
解：（1）∵函数f（x）的导函数f′（x）=ex-1（e为自然对数的底数，f（x）解析式无常数项），
∴f（x）=ex-x．
由f′（x）＞0，可得x＞0；f′（x）＜0，可得x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴x=0时，f（x）的最小值为1；
（2）不等式f（x）≥ax恒成立，等价于（a+1）x＜ex，
当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈（0，2]的情况．
将（a+1）x＜ex变形为a＜
-1．
令g（x）=
-1，则g（x）的导函数g′（x）=
，
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．
从而g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．
∴当x=1时，g（x）取得最小值e-1，
从而实数a的取值范围是（-∞，e-1]．
∴f（x）=ex-x．
由f′（x）＞0，可得x＞0；f′（x）＜0，可得x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴x=0时，f（x）的最小值为1；
（2）不等式f（x）≥ax恒成立，等价于（a+1）x＜ex，
当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈（0，2]的情况．
将（a+1）x＜ex变形为a＜
| ex |
| x |
令g（x）=
| ex |
| x |
| (x-1)ex |
| x2 |
令g′（x）＞0，解得x＞1；令g′（x）＜0，解得x＜1．
从而g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．
∴当x=1时，g（x）取得最小值e-1，
从而实数a的取值范围是（-∞，e-1]．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，正确分离参数是关键．
练习册系列答案
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平面向量
与
的夹角为60°，
=（
，-1），|
|=1，则|
+2
|=（ ）
| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
A、
| ||
B、2
| ||
C、2
| ||
| D、4 |
如图是一名篮球运动员在某一赛季10场比赛的得分的原始记录的径叶图，
如图，四棱锥S-ABCD的高为2，底面ABCD是边长为