题目内容
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AB=BC=3，BB1=4，连接B1C，在CC1上有点E，使得A1C⊥平面EBD，BE交B1C于F．（1）求ED与平面A1B1C所成角的大小；
（2）求二面角E-BD-C的大小．
分析：（1）连接A1D，由长方体的几何特征，易证BE⊥平面A1B1C，连接DF，则∠EDF为ED与平面A1B1C所成的角，解Rt△EDF，即可得到ED与平面A1B1C所成角的大小；
（2）连接EO，易由（1）的结论，结合二面角的平面角的定义，得到∠EOC即为二面角E-BD-C的平面角，解Rt△EOC，即可求出二面角E-BD-C的大小．
（2）连接EO，易由（1）的结论，结合二面角的平面角的定义，得到∠EOC即为二面角E-BD-C的平面角，解Rt△EOC，即可求出二面角E-BD-C的大小．
解答：解：（1）连接A1D，由A1B1∥CD，知D在平面A1B1C内，由A1C⊥平面EBD．
得A1C⊥EB又∵A1B1⊥BE，∴BE⊥平面A1B1C，即得F为垂足．
连接DF，则∠EDF为ED与平面A1B1C所成的角．
∵AB=BC=3，BB1=4，
∴B1C=5，BF=
∴CF=
，B1F=
，EF=
，EC=
，ED=
在Rt△EDF中，sin∠EDF=
∴ED与平面A1B1C所成角arcsin
（2）连接EO，由EC⊥平面BDC，且AC⊥BD，知EO⊥BD
∴∠EOC即为二面角E-BD-C的平面角
∵EC=，OC=
∴在Rt△EOC中，tan∠EOC=
=
∴二面角E-BD-C的大小为arctan
得A1C⊥EB又∵A1B1⊥BE，∴BE⊥平面A1B1C，即得F为垂足．
连接DF，则∠EDF为ED与平面A1B1C所成的角．
∵AB=BC=3，BB1=4，
∴B1C=5，BF=
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| 5 |
∴CF=
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| 5 |
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| 5 |
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| 9 |
| 4 |
| 15 |
| 4 |
在Rt△EDF中，sin∠EDF=
| 9 |
| 25 |
∴ED与平面A1B1C所成角arcsin
| 9 |
| 25 |
（2）连接EO，由EC⊥平面BDC，且AC⊥BD，知EO⊥BD
∴∠EOC即为二面角E-BD-C的平面角
∵EC=，OC=
3
| ||
| 2 |
∴在Rt△EOC中，tan∠EOC=
| EC |
| OC |
3
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| 4 |
∴二面角E-BD-C的大小为arctan
3
| ||
| 4 |
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是得到∠EDF为ED与平面A1B1C所成的角，（2）的关键是得到∠EOC即为二面角E-BD-C的平面角．
练习册系列答案
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A、
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B、
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C、
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D、
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