Question

{a_n}的前n项和为S_n，若(a₂－1)³＋2012(a₂－1)＝1，(a₂₀₁₁－1)³＋2012·(a₂₀₁₁－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．

①S₂₀₁₁＝2011；②S₂₀₁₂＝2012；③a₂₀₁₁<a₂；④S₂₀₁₁<S₂.

Answer 1

②③

[解析]　设f(x)＝x³＋2012x，则f(x)为奇函数，f ′(x)＝3x²＋2012>0，∴f(x)单调递增．由f(1)＝2013>1知f(1)>f(a₂－1)，∴1>a₂－1，∴a₂<2.

又f(a₂－1)＝－f(a₂₀₁₁－1)＝f(1－a₂₀₁₁)，∴a₂－1＝1－a₂₀₁₁，∴a₂＋a₂₀₁₁＝2，∴S₂₀₁₂＝×2012＝2012，故②正确；

又f(a₂－1)>f(a₂₀₁₁－1)，∴a₂－1>a₂₀₁₁－1，

∴a₂₀₁₁<a₂，∴③正确；

S₂₀₁₁＝S₂₀₁₂－a₂₀₁₂＝2012－(a₂₀₁₁＋d)＝2012－(2－a₂＋d)＝2010＋a₁>a₁＋a₂＝S₂，∴④错误；

假设S₂₀₁₁＝2011，则2010＋a₁＝2011，∴a₁＝1，

∵S₂₀₁₁＝＝2011，∴a₂₀₁₁＝1，这与{a_n}是等差数列矛盾，∴①错．

综上，正确的为②③.