Question

f(x)=

ax+b

x2+1

是定义在区间（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）求f（x）解析式；
（2）证明：f（x）为增函数；
（3）求不等式f（x-1）+f（x）＜0的解．

Answer 1

（1）∵f（x）为奇函数
∴f（0）=0，即b=0，
又f(

1

2

)=

1 2 a

1 4 +1

=

2

5

，解得a=1，
∴f(x)=

x

x2+1

．…（4分）
（2）证明：设-1＜x₁＜x₂＜1
即△x=x₂-x₁＞0，
△y=f(x2)-f(x1)=

x2

x22+1

-

x1

x12+1

=

(x2-x1)(1-x1x2)

(x22+1)(x12+1)

，
∵-1＜x₁＜1，-1＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1，
∴1-x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，
∴(x22+1)(x12+1)＞0，
∴△y＞0，
∴f（x）在（-1，1）上为增函数．
（3）∵f（x）为奇函数
又f（x-1）+f（x）＜0
∴f（x-1）＜-f（x）=f（-x）…（9分）
又f（x）在（-1，1）上为增函数
∴

-1＜x-1＜1 -1＜x＜1 x-1＜-x

，
∴0＜x＜

1

2

，
∴不等式f（x-1）+f（x）＜0的解集为{x|0＜x＜

1

2

}．…（14分）