Question

已知函数f(x)=ax+

b

x

，且f（1）=2，f(2)=

5

2

（1）求a、b的值；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数的解析式，根据f（1）=2，f(2)=

5

2

，代入构造关于a，b的方程组，解方程组可得a、b的值；
（2）设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，根据（1）中函数的解析式，代入判断f（x₁）与f（x₂）的大小，进而根据函数单调性的定义，得到答案．

解答：解：（1）∵函数f(x)=ax+

b

x

，且f（1）=2，f(2)=

5

2

∴

f(1)=a+b=2 f(2)=2a+ b 2 = 5 2

，
解得

a=1 b=1

（2）设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂

f(x1)-f(x2)=x1+ 1 x1 -x2- 1 x2 =x1-x2+ x2-x1 x1x2 =(x1-x2)(1- 1 x1x2 ) = (x1-x2)(x1x2-1) x1x2

∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．

点评：本题考查的知识点是待定系数法求函数的解析式，函数单调性的判断与证明，根据已知求出函数的解析式，是解答的关键．