Question

已知函数f(x)=

ax+b

x+1

的图象经过原点，且关于点（-1，1）成中心对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若数列{a_n}满足a_n＞0，a₁=1，an+1=[f(

an

)]2，求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设数列{a_n}的前n项和为S_n，试判断S_n与2的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）f（0）=0，可求b=0．所以f(x)=

ax

x+1

．由函数f(x)=

ax

x+1

=a-

a

x+1

图象关于点（-1，1）成中心对称，可求a
（2）因为an+1=[f(

an

)]2=(

an

an +1

)2，且a_n＞0，整理可得

1

an+1

-

1

an

=1．从而得到数列{

1

an

}是等差数列，可求
（3）由n≥2时，an=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，从而放缩结合裂项求和即可求

解答：解：（1）因为函数f(x)=

ax+b

x+1

的图象经过原点，
所以f（0）=0，即b=0．所以f(x)=

ax

x+1

．
因为函数f(x)=

ax

x+1

=a-

a

x+1

的图象关于点（-1，1）成中心对称，
所以a=1．所以f(x)=

x

x+1

．
（2）因为an+1=[f(

an

)]2=(

an

an +1

)2，且a_n＞0，
所以

an+1

=

an

an +1

，即

1

an+1

=1+

1

an

，即

1

an+1

-

1

an

=1．
所以数列{

1

an

}是首项为

1

an

=1，公差为1的等差数列．
所以

1

an

=1+(n-1)×1=n，所以an=

1

n2

（n∈N^*）．
（3）当n=1时，S₁=a₁=1＜2；
当n≥2时，an=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
所以Sn=a1+a2+a3+…+an=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2．
综上所述，S_n＜2（n∈N^*）．

点评：本题以函数中由函数的性质求解函数解析式为载体，重点考查了利用构造特殊数列（等差、等比）求解数列的通项公式，及裂项求和，要注意放缩法在解题中的应用．