Question

已知函数f(x)=ax-

b

x

，其中a、b为非零实数，f(

1

2

)=-

1

2

，f(2)=

7

4

（1）判断函数的奇偶性，并求a、b的值；
（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（1）求得含水度厄定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），从而得到函数为奇函数．
（2）由（1）得f(x)=x-

1

2x

，利用函数的单调性的定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

解答：解：（1）函数定义域为（-∞，0）∪（0．+∞），
由f(-x)=a(-x)-

b

-x

=-(ax-

a

x

)=-f(x)得，函数为奇函数．--------（3分）
由f(

1

2

)=-

1

2

，f(2)=

7

4

，可得

1

2

a-2b=-

1

2

，2a-

1

2

b=

7

4

，
解得a=1，b=

1

2

．---------（6分）
（2）证明：由（1）得f(x)=x-

1

2x

，设任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=x1-

1

2x1

-(x2-

1

2x2

)=(x1-x2)+(

1

2x2

-

1

2x1

)
=(x1-x2)+

x1-x2

2x1x2

=(x1-x2)(1+

1

2x1x2

)．----------（8分）
因为x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，即1+

1

2x1x2

＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．---------（10分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，用定义证明函数的单调性，属于中档题．