Question

【题目】已知，函数（是自然对数的底数）．

（Ⅰ）若，证明：曲线没有经过点的切线；

（Ⅱ）若函数在其定义域上不单调，求的取值范围；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）假设存在切线经过，设切点为，利用切线方程推出矛盾得到证明.

（Ⅱ）函数在其定义域上不单调，等价于有变号零点，取导数为0，参数分离，设新函数利用函数的单调性求取值范围.

解：（Ⅰ）因为，所以，此时，

设曲线在点处的切线经过点

则曲线在点处的切线

所以 化简得：

令，则，

所以当时，，为减函数，

当时， ， 为增函数，

所以，所以无解

所以曲线的切线都不经过点

（Ⅱ）函数的定义域为，因为，

所以在定义域上不单调，等价于有变号零点，

令，得，令．

因为，令，，

所以是上的减函数，又，故1是的唯一零点，

当，，，递增；

当，，，递减；

故当时，取得极大值且为最大值，所以，即的取值范围是