Question

16．在正三棱锥S-ABC中，M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB=2$\sqrt{2}$，则正三棱锥S-ABC的体积为$\frac{4}{3}$，其外接球的表面积为12π．

Answer 1

分析 根据空间直线平面的垂直问题，得出棱锥的高，转化顶点，求解体积，补图的正方体的外接球求解．

解答 解：取AC中点D，则SD⊥AC，DB⊥AC，
又∵SD⊥BD=D，∴AC⊥平面SDB，
∵SB?平面SBD，∴AC⊥SB，
又∵AM⊥SB，AM∩AC=A，
∴SB⊥平面SAC，
∴SA⊥SB，SC⊥SB，
根据对称性可知SA⊥SC，从而可知SA，SB，SC两两垂直，
将其补为立方体，其棱长为2，
∴V_S-ABC=S_C-ASB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$，其外接球即为立方体的外接球，半径r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$2=\sqrt{3}$，表面积S=4π×3=12π．

点评 本题考查了空间空间几何体的性质，学生的空间思维能力，计算能力，属于中档题．