Question

6．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，平面EFBD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：AC⊥平面EFBD；
（Ⅱ）若BF=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （I）由正方形的性质得AC⊥BD，由面面垂直的性质即可得到AC⊥平面EFBD；
（II）求出等腰梯形的上下底，利用勾股定理求出梯形的高，将多面体分解成四棱锥A-BDEF和四棱锥C-BDEF计算体积．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．
又平面EFBD⊥平面ABCD，平面EFBD∩平面ABCD=BD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面EFBD．
（Ⅱ）∵正方形ABCD的边长为2，∴BD=AC=2$\sqrt{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，
过F作FM⊥BD于M，
∵四边形EFBD为等腰梯形，∴MB=$\frac{1}{2}$（BD-EF）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴FM=$\sqrt{F{B}^{2}-M{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
设AC∩BD=O，则AO=$\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$．
∴V_C-BDEF=V_A-BDEF=$\frac{1}{3}$S_梯形BDEF•AO=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\sqrt{2}+2\sqrt{2}）×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
∴多面体ABCDEF的体积V=2V_A-BDEF=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．