Question

18．如图，正四棱锥S-ABCD中，底面边长与高相等，K、T分别是SC、SB的中点．
（1）求证：KT∥平面SAD；
（2）求二面角K-AD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用平行公理得到KT∥AD，由此能证明KT∥平面SAD．
（2）过点K在面KAD内作KE⊥AD，交AD于E，过点E作EF∥AB交BC于F，连接KF，∠KEF为二面角K-AD-C的平面角，由此能求出二面角K-AD-C的余弦值．

解答 （1）证明：∵正四棱锥S-ABCD中，底面边长与高相等，K、T分别是SC、SB的中点，
∴KT∥BC，AD∥BC，∴KT∥AD，
∵AD?平面SAD，KT?平面SAD，
∴KT∥平面SAD．
（2）解：过点K在面KAD内作KE⊥AD，交AD于E，过点E作EF∥AB交BC于F，连接KF，
∵正四棱锥S-ABCD中，底面边长与高相等，K是SC的中点，
∴KD=KA，∴E⊥AD，∵AB⊥AD，EF∥AB，∴EF⊥AD，
则∠KEF为二面角K-AD-C的平面角，
设正四棱锥S-ABCD菱长为a，
则KD=KA=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，KE=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，EF=a，KF=KC=FC=$\frac{1}{2}a$，
∴cos∠KEF=$\frac{（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}+{a}^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}a×a}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．
∴二面角K-AD-C的余弦值为$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．