Question

13．已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角，用向量法证明：∠ABC=90°．

Answer 1

分析 由题意画出图形，令$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{m}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{n}$，然后把$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{BC}$用向量$\overrightarrow{m}、\overrightarrow{n}$表示，由数量积运算证明$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=0$得答案．

解答 证明：如图，

设圆O半径为r，令$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{m}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{n}$，
则$\overrightarrow{OC}=-\overline{m}$，且$|\overrightarrow{m}|=|\overrightarrow{n}|=r$
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）•（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}）$
=$（\overrightarrow{n}-\overrightarrow{m}）•（-\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}）$=$（\overrightarrow{m}）^{2}-（\overrightarrow{n}）^{2}=|\overrightarrow{m}{|}^{2}-|\overrightarrow{n}{|}^{2}={r}^{2}-{r}^{2}=0$．
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BC}$．
即AB⊥BC．
∴∠ABC=90°．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，训练了平面向量的加减法运算，是基础题．