Question

【题目】在中， ， ， ， 为线段的中点， 为线段的三等分点（如图1）.将沿着折起到的位置，连接（如图2）.

（1）若平面平面，求三棱锥的体积；

（2）记线段的中点为，平面与平面的交线为，求证： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意可知是等边三角形，取中点，连接，则.由面面垂直的性质定理可得平面.三棱锥的高，其底面积.据此可得三棱锥的体积为.

(2)由中位线的性质可得，然后利用线面平行的判断定理可得平面，最后利用线面平行的性质定理可得.

试题解析：

（1）在直角中， 为的中点，所以.

又，所以是等边三角形.

取中点，连接，所以.

因为平面平面，平面平面， 平面，

所以平面.

在中， ， ， ， 为的中点，所以， .

所以.

所以三棱锥的体积为.

（2）因为为的中点， 为的中点，所以.

又平面， 平面，所以平面.

因为平面，平面平面，所以.