Question

【题目】已知函数，函数是奇函数.

（1）判断函数的奇偶性，并求实数的值;

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围;

（3）设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）计算，可知是偶函数，由，得，进而检验即可；

（2）在上单调递增，且为奇函数，由恒成立，得，即时恒成立，即时恒成立，令，，只需即可；

（3）计算得，存在使不等式成立，只需即可.

试题解析：

（1）函数的定义域为

任意有

=

是偶函数

由，得，

则，

经检验是奇函数，

故，

（2） ，

易知在上单调递增，

且为奇函数．

∴由恒成立，

得，

时恒成立

即时恒成立

令，，则

又 ，的最小值

∴

（3），

.

由已知得，存在使不等式成立，

的最大值

而在上单调递增，

∴

∴

∴

.

又∵

∴

∴.