题目内容
（2008•如东县三模）在等差数列{an}中，公差d≠0，且a5=6，
（1）求a4+a6的值．
（2）当a3=3时，在数列{an}中是否存在一项am（m正整数），使得 a3，a5，am成等比数列，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
（3）若自然数n1，n2，n3，…，nt，…，（t为正整数）满足5＜n1＜n2＜…＜nt＜…，使得a3，a5，an1，…，ant，…成等比数列，求a3的所有可能值．
（1）求a4+a6的值．
（2）当a3=3时，在数列{an}中是否存在一项am（m正整数），使得 a3，a5，am成等比数列，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
（3）若自然数n1，n2，n3，…，nt，…，（t为正整数）满足5＜n1＜n2＜…＜nt＜…，使得a3，a5，an1，…，ant，…成等比数列，求a3的所有可能值．
分析：（1）根据等差数列的性质，易得a4+a6=2a5=12；
（2）根据等差数列的通项公式，建立方程组解出首项a1与公差d，得到an=
(n-1)，再由等比中项的定义建立关系式：a52=
am，转化为关于m的方程并解之可得m=9；
（3）由题意用等差数列通项公式化简
=a3•an1，得[6+（n1-5）d]（6-2d）=36解出d=3-
，可得d∈Q．利用等比数列的通项公式，结合题意算出ant=a5•(
)t，可得nt关于d和t的表达式，再由nt∈{6，7，8，9，10，…}对一切t∈Z+成立，可得
∈{2，3，4，5，…}．再设
=m，利用前面的关系式化简并结合二项定理得到
∈Z恒成立，即可得到a3的所有可能值．
（2）根据等差数列的通项公式，建立方程组解出首项a1与公差d，得到an=
| 3 |
| 2 |
| a | 3 |
（3）由题意用等差数列通项公式化简
| a | 2 5 |
| 6 |
| n1-5 |
| a5 |
| a3 |
| 3 |
| 3-d |
| 3 |
| 3-d |
| 2m(mt-1) |
| m-1 |
解答：解：（1）∵在等差数列{an}中，公差d≠0，且a5=6，
∴2a5=a4+a6，结合a5=6得a4+a6=12…（3分）
（2）在等差数列{an}中，公差d≠0，且a5=6，a3=3
则
⇒d=
，a1=0，
∴an=
(n-1)n∈N*…（5分）
又∵a52=
am，可得36=3am，
∴12=
(m-1)，解之得m=9…（8分）
（3）∵a3=6-2d，an1=6+(n1-5)d
∴由a3，a5，an1成等比数列，得到
=a3•an1
即[6+（n1-5）d]（6-2d）=36，
∴d=
=3-
，由此可得d∈Q…（14分）
又∵a3，a5，an1，…，ant，…成等比数列，∴ant=a5•(
)t=a5+(nt-5)•d
∴nt=5+
∈{6，7，8，9，10，…}对一切t∈Z+成立，
即
∈{2，3，4，5，…}（*），
设
=m（m∈{2，3，4，5，…}），
∴d=3-
，得
=
=
，
由二项式定理得
∈Z恒成立
∴a3=6-2d=6-2(3-
)=
（m∈{2，3，4，5，…}）
∴2a5=a4+a6，结合a5=6得a4+a6=12…（3分）
（2）在等差数列{an}中，公差d≠0，且a5=6，a3=3
则
|
| 3 |
| 2 |
∴an=
| 3 |
| 2 |
又∵a52=
| a | 3 |
∴12=
| 3 |
| 2 |
（3）∵a3=6-2d，an1=6+(n1-5)d
∴由a3，a5，an1成等比数列，得到
| a | 2 5 |
即[6+（n1-5）d]（6-2d）=36，
∴d=
| 3n1-21 |
| n1-5 |
| 6 |
| n1-5 |
又∵a3，a5，an1，…，ant，…成等比数列，∴ant=a5•(
| a5 |
| a3 |
∴nt=5+
6(
| ||
| d |
即
| 3 |
| 3-d |
设
| 3 |
| 3-d |
∴d=3-
| 3 |
| m |
6(
| ||
| d |
| 6mt+1-6 | ||
3-
|
| 2m(mt-1) |
| m-1 |
由二项式定理得
| 2m(mt-1) |
| m-1 |
∴a3=6-2d=6-2(3-
| 3 |
| m |
| 6 |
| m |
点评：本题给出等差、等比数列模型，求通项公式和参数m的值，并讨论满足条件的项a3所有可能值．着重考查了等差等比数列的通项公式、整数解的讨论和二项式定理等知识，属于中档题．
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