Question

（2008•如东县三模）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数k＞0，使|f（x）|≤

k

2010

|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“诚毅”函数．给出下列函数：
①f（x）=x²；  
②f（x）=sinx+cosx；  
③f（x）=

x

x2+x+1

；  
④f（x）=3^x+1；
其中f（x）是“诚毅”函数的序号为

③

．

Answer 1

分析：利用新定义，取x=0，考查函数

|f(x)|

|x|

的最值，即可得到结论．

解答：解：对于①，

|f(x)|

|x|

=|x|，显然不存在常数k＞0，使得|x|≤

k

2010

，故不满足题意；
对于②，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f(x)|≤

k

2010

不成立，故错误；
对于③，

|f(x)|

|x|

=

1

x2+x+1

=

1

(x+ 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

，令

k

2010

=

4

3

，则k=2680，使|f(x)|≤

k

2010

|x|对一切实数x均成立，故③正确；
对于④，f（x）=3^x+1，由于x=0时，|f(x)|≤

k

2010

不成立，故错误；
故答案为：③

点评：本题考查阅读题意的能力，考查学生对新定义的理解，根据“诚毅”的定义进行判定是关键．