Question

（2008•如东县三模）（理）若直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0交于M、N两点，并且M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面区域的面积是

1

4

．

Answer 1

分析：由题意得直线y=kx+1与x+y=0垂直，利用垂直直线斜率的乘积为-1算出k=1；根据圆心C（-

k

2

，-

m

2

）在直线x+y=0上算出m=-1，从而得出原不等式组并作出它所表示的平面区域，利用三角形面积公式可求出其面积．

解答：解：∵M、N两点关于直线x+y=0对称，∴直线的斜率k=1，
又∵圆心C（-

k

2

，-

m

2

）在直线x+y=0上
∴可得-

k

2

+（-

m

2

）=0，解之得m=-k=-1
∴不等式组

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

变为

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△AOB及其内部区域，
解出A（-1，0），B（-

1

2

，

1

2

），
所以S_△AOB=

1

2

×|-1|×|-

1

2

|=

1

4

．
故答案为：

1

4

点评：本题考查学生掌握直线与圆的位置关系、二元一次不等式（组）与平面区域等基本知识，考查学生灵活运用中点坐标公式化简求值，会进行简单的线性规划，属于中档题．