Question

【题目】已知离心率为的椭圆经过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)荐椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆分别交于，若直线、、的斜率成等差数列，请问的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)是，

【解析】

(1)根据及可得，再将点代入椭圆的方程与联立解出，即可求出椭圆的方程；

(2) 可设所在直线的方程为，，，，将直线的方程与椭圆的方程联立，用根与系数的关系求出，然后将直线、、的斜率、、分别用表示，利用可求出，从而可确定点恒在一条直线上，结合图形即可求出的面积．

(1)因为椭圆的离心率为，所以，即，

又，所以，①

因为点在椭圆上，所以，②

由①②解得，所以椭圆C的方程为．

(1)可知，，可设所在直线的方程为，

由，得，

设，，，则，，

设直线、、的斜率分别为、、，

因为三点共线，所以，即，

所以，

又，

因为直线、、的斜率成等差数列，所以，

即，化简得，即点恒在一条直线上，

又因为直线方程为，且，

所以是定值.