Question

【题目】已知函数，.

（1）若存在极小值，求实数的取值范围；

（2）设是的极小值点，且，证明：.

Answer 1

【答案】(1) .(2)见解析.

【解析】

（1）先求得导函数，根据定义域为，可构造函数，通过求导及分类讨论，即可求得的取值范围。

（2）由（1）令，通过分离参数得，同时求对数，根据函数，可得。构造函数及，由导数即可判断的单调情况，进而求得的最小值，结合即可证明不等式成立。

（1）.

令，

则，

所以在上是增函数.

又因为当时，；

当时，.

所以，当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点；

当时，的值域为，

必存在使.

所以当时，，，单调递减；

当时，，，单调递增；

所以存在极小值点.

综上可知实数的取值范围是.

（2）由（1）知，即.

所以，

.

由，得.

令，显然在区间上单调递减.

又，所以由，得.

令，

，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

所以，当时，函数取最小值，

所以，即，即，

所以，，

所以，

即.