Question

20．已知函数f（x）=x²-k|x|+（k-2）x，
（1）判定函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）当k=2时画出函数f（x）在[-3，3]上的简图，并写出单调区间；
（3）若关于x的方程x²-2|x|=a有四个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）k=2时，f（-x）=f（x），函数是偶函数；k≠2时，函数非奇非偶；
（2）当k=2时画出函数f（x）在[-3，3]上的简图，根据图象写出单调区间；
（3）根据图象，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）k=2时，f（-x）=f（x），函数是偶函数；k≠2时，函数非奇非偶．
（2）k=2时，f（x）=x²-2|x|（x∈[-3，3]），图象如图所示．
函数的单调减区间是[-3，-1]，[0，1]；单调增区间是[-1，0]，[1，3]；
（3）由图象，关于x的方程x²-2|x|=a有四个不同的解，则-1＜a＜0．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．