Question

根据下列条件，求圆的方程.

(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上.

(2)过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4.

Answer 1

[解析]　(1)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：

又圆的半径r＝|OC|＝5，

∴所求圆的方程为(x－4)²＋(y＋3)²＝25.

(2)设圆的方程为x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0.①

将P、Q点的坐标分别代入①得：

令x＝0，由①得y²＋Ey＋F＝0.④

由已知|y₁－y₂|＝4，其中y₁、y₂是方程④的两根．

∴(y₁－y₂)²＝(y₁＋y₂)²－4y₁y₂＝E²－4F＝48.⑤

解②、③、⑤组成的方程组，得

故所求圆的方程为

x²＋y²－2x－12＝0，或x²＋y²－10x－8y＋4＝0.