Question

18．已知关于x的不等式|x-1|+|x-2|≥m对x∈R恒成立．
（Ⅰ）求实数m的最大值；
（Ⅱ）若a，b，c为正实数，k为实数m的最大值，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=k$，求证：a+2b+3c≥9．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据不等式的性质求出即可；（Ⅱ）先求出$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=1$，根据“1”的应用结合基本不等式的性质证明即可．

解答 解：（Ⅰ）由|x-1|+|x-2|≥|（x-1）-（x-2）|=1…（3分）
∵|x-1|+|x-2|≥m对x∈R恒成立．m≤1，
∴m最大值为1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k=1，
即$\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}=1$，
$\begin{array}{l}a+2b+3c=（a+2b+3c）（\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{3c}）\\=3+\frac{a}{2b}+\frac{a}{3c}+\frac{2b}{a}+\frac{2b}{3c}+\frac{3c}{a}+\frac{3c}{2b}≥3+2\sqrt{\frac{a}{2b}•\frac{2b}{a}}+2\sqrt{\frac{a}{3c}•\frac{3c}{a}}+2\sqrt{\frac{2b}{3c}•\frac{3c}{2b}}=9\end{array}$，
当且公当a=2b=3c时等号成立 …（9分）
∴a+2b+3c≥9…（10分）

点评 本题考查了不等式的性质，考查“1”的应用，是一道中档题．