Question

设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记.（1）（1）求数列与数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由．
（3）记，设数列的前项和为，求证：对于都有

Answer 1

(1)；(2)不存在，见解析；（3）见解析.

解析试题分析：（1）根据题中给的a_n=5S_n+1，继而可得a_n-1=5s_n-1+1，两式子相减得，a_n-a_n-1=5a_n，因此,因而可得出a_n，b_n的通项公式;（2）根据b_n的通项公式，算出的前n项和为R_n，再计算出是否存在正整数k;（3）根据b_n的通项公式，计算出c_n的通项公式，再比较T_n与的大小.
（1）当时，,又,
,∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，（2）不存在正整数，使得成立。证明：由（1）知


∴当n为偶数时，设 ,∴
当n为奇数时，设
∴
∴对于一切的正整数n，都有,∴不存在正整数，使得成立;（3）由得
又， 当时，，当时，
 
考点：数列递推式；数列的应用；数列的求和