Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，S_n=2a_n-2．
（I）求{a_n}通项公式；
（Ⅱ）等差数列{b_n}的各项为正，其前3项和为6，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₄成等比数列，求{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）记，数列{c_n}的前项和记为T_n，问是否存在常数k，使对任意的n≥k，n∈N，都有成立，若存在，求常数k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由S_n=2a_n-2，知S_n-1=2a_n-1-2，故a_n=2a_n-1，，由此能求出{a_n}通项公式．
（Ⅱ）由题设知，由此能求出{b_n}的通项公式．
（Ⅲ）由题设知，利用错位相减法能得到=2-．由＜，知＜1，设，能够推导出当k=6时，使对任意的n≥k，n∈N，都成立．
解答：解：（I）∵S_n=2a_n-2，则S_n-1=2a_n-1-2，
两式相减，得a_n=2a_n-1，
，
当n=1时，S₁=a₁=2a₁-2，
∴a₁=2，
∴{a_n}是等比数列，公比为2，∴．
（Ⅱ）∵等差数列{b_n}的各项为正，其前3项和为6，
又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₄成等比数列，
∴，
解得，或（舍）
∴b_n=n．
（Ⅲ）∵，数列{c_n}的前项和记为T_n，
∴，
2T_n=，
∴
=2--
=2-．
∴＜，即＜1，
设，
，
．
当n≥2时，d_n+1＜d_n，
，，，，
∴当k≥6时，使对任意的n≥k，n∈N，都成立．
点评：本题考查数列的通项公式的求法和判断是否存在常数k，使对任意的n≥k，n∈N，都有成立．解题时要认真审题，注意迭代法和错位相减法的灵活运用．