Question

数列{a_n}定义如下：a₁=1，且当n≥2时，an=

a n 2 +1，当n为偶数时 1 an-1 ，当n为奇数时

，已知an=

30

19

，求正整数n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：先判断当n为偶数时，a_n＞1；当n（n＞1）是奇数时，an=

1

an-1

＜1，由an=

30

19

＞1，结合an=

a n 2 +1，当n为偶数时 1 an-1 ，当n为奇数时

，可得，a

n-110

128

=2-1=1，从而

n-110

128

=1，即可得出结论．

解答： 解：由题设知，a_n＞0，n=1，2，…．
又由a₁=1，可得，当n为偶数时，a_n＞1；当n（n＞1）是奇数时，an=

1

an-1

＜1．          …（4分）
由an=

30

19

＞1，所以n为偶数，于是a

n

2

=

30

19

-1=

11

19

＜1，
所以，

n

2

是奇数．
于是依次可得：a

n

2

-1=

19

11

＞1，

n

2

-1是偶数，a

n-2

4

=

19

11

-1=

8

11

＜1，

n-2

4

是奇数，
a

n-2

4

-1=

11

8

＞1，

n-6

4

是偶数，a

n-6

8

=

11

8

-1=

3

8

＜1，

n-6

8

是奇数，
a

n-6

8

-1=

8

3

＞1，

n-14

8

是偶数，a

n-14

16

=

8

3

-1=

5

3

＞1，

n-14

16

是偶数，
a

n-14

32

=

5

3

-1=

2

3

＜1，

n-14

32

是奇数，…（9分）a

n-14

32

-1=

3

2

＞1，

n-46

32

是偶数，a

n-46

64

=

3

2

-1=

1

2

＜1，

n-46

64

是奇数，a

n-46

64

-1=2＞1，

n-110

64

是偶数，a

n-110

128

=2-1=1，
所以，

n-110

128

=1，解得，n=238．                …（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，用倒推的方式是解题的关键．