Question

已知函数f（x）=cos²x+asinx-2a-2，
（I）当a=-2时，求满足f（x）=0的x值；
（Ⅱ）当关于x的方程f（x）=0有实数解时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先将函数化成关于sinx的二次函数，然后将a的值代入后因式分解，再根据三角方程求出x的值即可；
（Ⅱ）令sinx=t，则t∈[-1，1]，由f（x）=0有实数解等价于方程t²-at+2a+1=0在t∈[-1，1]上有解，讨论方程的解得个数进行求解即可．

解答：解：f（x）=cos²x+asinx-2a-2=1-sin²x+asinx-2a-2
=-sin²x+asinx-2a-1
（I）当a=-2时，由f（x）=-sin²x+asinx-2a-1=0
得-sin²x-2sinx+3=0，（sinx-1）（sinx+3）=0，
所以sinx=1，则x=2kπ+

π

2

，k∈Z，所以满足f（x）=0的x值是x=2kπ+

π

2

，k∈Z
（Ⅱ）令sinx=t，则t∈[-1，1]，
由f（x）=0有实数解等价于方程t²-at+2a+1=0在t∈[-1，1]上有解，
记g（t）=t²-at+2a+11，若方程t²-at+2a+1=0在t∈[-1，1]上有一解，则g（-1）g（1）≤0，
（3a+2）（a+2）≤0得-2≤a≤-

2，

3

2若方程t²-at+2a+1=0在t∈[-1，1]上有两解，则

g(-1)≥0 g(1)≥0 △=a2-4(2a+1)≥0  -1＜ a 2 ＜1

，即

a≥ - 2 3 a≥-2 a≥4+2 5 或a≤4-2 5 -2＜a＜2

解得-

2

3

＜a≤4-2

5

．
综合①．②得所求a的取值范是{a|-2≤a≤-

2

3

或-

2

3

＜a≤4-2

5

}即[-2，4-2

5

]

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及方程在闭区间上有解的问题，属于基础题．