题目内容
如图，在四棱锥p﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求二面角B﹣PC﹣A的余弦值．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求二面角B﹣PC﹣A的余弦值．
证明：（1）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则
B（0，1，0），C（﹣2，4，0），D（﹣2，0，0），P（0，0，4），
∴
，
，
∴
所以PC⊥BD．
（2）易证
为面PAC的法向量，设面PBC的法向量n=（a，b，c），
所以
所以面PBC的法向量n=（6，4，1），
∴cosθ=﹣
．
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，
所以二面角B﹣PC﹣A的余弦值为
．
B（0，1，0），C（﹣2，4，0），D（﹣2，0，0），P（0，0，4），
∴
，，∴
所以PC⊥BD．
（2）易证
为面PAC的法向量，设面PBC的法向量n=（a，b，c），所以
所以面PBC的法向量n=（6，4，1），
∴cosθ=﹣
．因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，
所以二面角B﹣PC﹣A的余弦值为
．
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