题目内容
已知向量
=（sinθ，cosθ），
=（1，-2），且•=0．
（1）求tanθ的值；
（2）求函数f（x）=cos2x+tanθsinx，（x∈R）的值域．
解：（1）∵=（sinθ，cosθ），=（1，-2），
∴•=0即sinθ-2cosθ=0，
两边都除以cosθ得：
-2=0，可得tanθ=2；
（2）由（1）得f（x）=cos2x+2sinx=-sin2x+2sinx+1=-（sinx-1）2+2，
∵-1≤sinx≤1，
∴sinx=1时，f（x）有最大值为2；sinx=-1时，f（x）有最小值为-2
所以函数的值域为：[-2，2]
分析：（1）由向量数量积的坐标公式列式，再结合同角三角函数的关系变形，可得tanθ的值；
（2）将cos2x=1-sin2x代入函数表达式，整理得f（x）=-（sinx-1）2+2，再结合sinx的取值范围，可得函数f（x）的最大值和最小值，从而得到函数f（x）的值域．
点评：本题以向量坐标运算和函数求值域为载体，考查了同角三角函数的关系、复合三角函数最值和向量数量的公式等知识，属于基础题．
=（sinθ，cosθ），=（1，-2），∴
•=0即sinθ-2cosθ=0，两边都除以cosθ得：
-2=0，可得tanθ=2；（2）由（1）得f（x）=cos2x+2sinx=-sin2x+2sinx+1=-（sinx-1）2+2，
∵-1≤sinx≤1，
∴sinx=1时，f（x）有最大值为2；sinx=-1时，f（x）有最小值为-2
所以函数的值域为：[-2，2]
分析：（1）由向量数量积的坐标公式列式，再结合同角三角函数的关系变形，可得tanθ的值；
（2）将cos2x=1-sin2x代入函数表达式，整理得f（x）=-（sinx-1）2+2，再结合sinx的取值范围，可得函数f（x）的最大值和最小值，从而得到函数f（x）的值域．
点评：本题以向量坐标运算和函数求值域为载体，考查了同角三角函数的关系、复合三角函数最值和向量数量的公式等知识，属于基础题．
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