题目内容

下列四个命题中，真命题的序号有
①③④
①③④
（写出所有真命题的序号）．
①两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线．
②圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=
1
2
x相交，所得弦长为2．
③若sin（α+β）=
1
2
，sin（α-β）=
1
3
，则tanαcotβ=5．
④如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，P为底面ABCD内一动点，P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，则P点的轨迹是抛物线的一部分．
分析：①利用面面垂直的性质判断．②利用直线和圆的位置关系判断．③利用两角和差的正弦公式求值．④利用抛物线的定义判断．
解答：解：①根据面面垂直的性质可知，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线，所以①正确．
②圆的标准方程为（x+2）2+（y+1）2=4，圆心坐标为（-2，-1），半径为2．
因为圆心在直线y=
1
2
x，所以直线与圆相交，相应的弦长为直径4，所以②错误．
③由sin（α+β）=
1
2
，sin（α-β）=
1
3
，得
sinαcosβ+cosαsinβ=
1
2
sinαcosβ-cosαsinβ=
1
3
，
解得
sinαcosβ=
5
12
cosαsinβ=
1
12
，所以两式相除得tanαcotβ=5，所以③正确．
④连结PC，则PC是点P到直线CC1的距离，过P作PE垂直于直线AD，则PE到平面AA1D1D的距离为PE，
因为P到平面AA1D1D的距离与到直线CC1的距离相等，所以PC=PE，满足抛物线的定义，
 所以P点的轨迹是抛物线的一部分，所以④正确．
故正确的命题为①、③、④．
故答案为：①、③、④．
点评：本题主要考查命题的真假判断，牵扯的知识点较多，综合性较强．
练习册系列答案
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已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1满足条件：（1）焦点为F1（-5，0），F2（5，0）；（2）离心率为
5
3
，求得双曲线C的方程为f（x，y）=0．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f（x，y）=0，则下列四个条件中，符合添加的条件可以是（　　）
①双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1上的任意点P都满足||PF1|-|PF2||=6；
②双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的渐近线方程为4x±3y=0；
③双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距为10；
④双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦点到渐近线的距离为4．
A、①③B、②③C、①④D、①②④
下列四个判断中，正确判断的个数为（　　）
①经过定点P（x0，y0）的直线都可以用y-y0=k（x-x0）表示；
②经过定点P（0，b）的直线都可以用y=kx+b表示；
③不经过原点的直线都可以用
x
a
+
y
b
=1表示；
④任意直线都可以用Ax+By+C=0（A，B不同时为零）表示．
（2012•厦门模拟）某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况用茎叶图记录，下列四个结论中，不正确的是（　　）
（如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是（　　）
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A、①②B、②③C、②④D、③④

已知命题：“”，命题：“”，给出下列四个判断：①是真命题，②是真命题，③是真命题，④是真命题，其中正确的是（     ）

A. ② ④               B. ② ③

C. ③ ④               D. ① ② ③

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