杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家.数学教育家.他的数学著作颇多,他编著的数学书共5种21卷,在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法.他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律.古今中外,许多数学家如贾宪.朱世杰.帕斯卡.华罗庚题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家.他的数学著作颇多,他编著的数学书共5种21卷,在他的著作中收录了不少现已失传的古代数学著作中的算题和算法.他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律.古今中外,许多数学家如贾宪、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过,并将研究结果应用于其他工作.下图是一个11阶的杨辉三角:

试回答:(其中第(1)&(5)小题只需直接给出最后的结果,无需求解过程)

(1)记第i(i∈N*)行中从左到右的第j(j∈N*)个数为a_ij,则数列{a_ij}的通项公式为 ,

n阶杨辉三角中共有个数;

(2)第k行各数的和是;

(3)n阶杨辉三角的所有数的和是;

(4)将第n行的所有数按从左到右的顺序合并在一起得到的多位数等于;

(5)第p(p∈N*,且p≥2)行除去两端的数字1以外的所有数都能被p整除,则整数p一定为( )

A.奇数 B.质数 C.非偶数 D.合数

(6)在第3斜列中,前5个数依次为1、3、6、10、15;第4斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般地有这样的结论:

第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.

试用含有m、k(m、k∈N*)的数学公式表示上述结论并证明其正确性.

数学公式为 .

证明: .

解：(1)a_ij= (2)2^k (3)2ⁿ⁺¹-1 (4)11ⁿ (5)B

(6)

练习册系列答案

，求n的值；
（3）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m、k（m，k∈N×）的数学公式表示上述结论，并给予证明．

第0行												1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	第1斜列
第1行											1		1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	第2斜列
第2行										1		2		1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	第3斜列
第3行									1		3		3		1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	第4斜列
第4行								1		4		6		4		1	…	…	…	…	…	…	…	…	第5斜列
第5行							1		5		10		10		5		1	…	…	…	…	…	…	…	第6斜列
第6行						1		6		15		20		15		6		1	…	…	…	…	…	…	第7斜列
第7行					1		7		21		35		35		21		7		1	…	…	…	…	…	第8斜列
第8行				1		8		28		56		70		56		28		8		1	…	…	…	…	第9斜列
第9行			1		9		36		84		126		126		84		36		9		1	…	…	…	第10斜列
第10行		1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1	…	…	第11斜列
第11行	1		11		55		165		330		462		462		330		165		55		11		1	…	第12斜列
										11阶杨辉三角

杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，他的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关．图是一个7阶的杨辉三角．
给出下列五个命题：
①记第i（i∈N^*）行中从左到右的第j（j∈N^*）个数为a_ij，则数列{a_ij}的通项公式为C_i^j；
②第k行各数的和是2^k；
③n阶杨辉三角中共有

(n+1)2

个数；
④n阶杨辉三角的所有数的和是2ⁿ⁺¹-1．
其中正确命题的序号为

②④

．

杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图所示是一个11阶杨辉三角：

（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）若第n行中从左到右第14与第15个数的比为

，求n的值；
（3）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m，k（m，k∈N^*）的数学公式表示上述结论，并给予证明．

（本题满分15分）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．下图是一个11阶杨辉三角：

（1）求第20行中从左到右的第3个数；
（2）若第行中从左到右第13与第14个数的比为，求的值；
（3）写出第行所有数的和，写出阶（包括阶）杨辉三角中的所有数的和；
（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现，事实上，一般地有这样的结论：第斜列中（从右上到左下）前个数之和，一定等于第斜列中第个数．
试用含有，的数学式子表示上述结论，并证明．