Question

【题目】已知椭圆C：（）的左右焦点分别为，，过焦点的一条直线交椭圆于P，Q两点，若的周长为，且长轴长与短轴长之比为

（1）求出椭圆的方程；

（2）若，求出弦长的值；

（3）若，求出直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根据焦点三角形周长、长短轴之比和可构造方程组求得，进而得到椭圆方程；

（2）设，由焦点三角形面积可构造方程求得点坐标，由此得到直线方程，与椭圆方程联立求得点坐标，由两点间距离公式求得；

（3）设直线的方程为：，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式；由平面向量线性运算可化简已知等式为，由此得到，结合韦达定理构造方程求得，进而得到直线方程.

（1）由周长得：，即

由长轴长与短轴长之比为得：

又，可解得：，，

椭圆的方程为

（2）设，则

，又

，即 或

当时，直线方程为，与椭圆方程联立得：

由椭圆对称性知，当时，

综上所述：

（3）设直线的方程为：，，

，即

由得：

则，

即：，解得：

直线的方程为：或

即直线的方程为：或