Question

【题目】已知函数f（x）＝（x2﹣a）ex（a∈R）．

（1）若函数f（x）有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；

（2）当a＝0时，若关于x的方程f（x）＝m存在三个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) a＞﹣1，(2) （0，）．

【解析】

（1）有两个不同的极值点，等价于有两个不同的实数根，用判别式即可求出的范围.

（2）求出函数的单调区间，根据函数的单调区间和极值画出函数的图像，转化为两个函数交点问题，就可求出的取值范围.

（1）因为，

由可得，

因为有两个不同的极值点，

所以有两个不同的实数根，

则，解可得.

（2）当时，，，

令，解得：，

当，时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，函数取得极大值，

当时，函数取得极小值，

因为存在三个不同的实数根，

所以与有个不同的交点，

则.

故m的范围.