Question

【题目】已知函数 .

（1）若，函数的极大值为，求实数的值；

（2）若对任意的， ，在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，最后根据绝对值求实数的值；（2）先求， 最大值，再变量分离得 ，最后根据导数研究函数最大值，即得实数的取值范围.

试题解析：（1）由题意，

.

①当时，，

令，得；，得，

所以在单调递增单调递减.

所以的极大值为，不合题意.

②当时，，

令，得；，得或，

所以在单调递增， ， 单调递减.

所以的极大值为，得.

综上所述.

（2）令，

当时，，

故上递增，

原问题上恒成立

①当时，，，，

此时，不合题意.

②当时，令，，

则，其中，，

令，则在区间上单调递增

（ⅰ）时，，

所以对，，从而在上单调递增，

所以对任意，，

即不等式在上恒成立.

（ⅱ）时，由，及在区间上单调递增，

所以存在唯一的使得，且时，.

从而时，，所以在区间上单调递减，

则时，，即，不符合题意.

综上所述，.