Question

6．自双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点 F₁、F₂分别向两条渐近线作垂线，垂足分别为A、B，连接AB，若梯形ABF₂F₁的面积为$\frac{3}{2}$，且ab=1，则双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的焦点和渐近线方程，联立直线方程，可得垂足B的坐标，及A的坐标，运用梯形的面积公式和离心率公式，计算即可得到所求．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），
渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由F₂向渐近线y=$\frac{b}{a}$x作垂线交点为B，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$解得B（$\frac{a}{bc}$，$\frac{1}{c}$），
即有A（-$\frac{a}{bc}$，$\frac{1}{c}$），
则梯形ABF₂F₁的面积为$\frac{1}{2}$（2c+$\frac{2a}{bc}$）•$\frac{1}{c}$=$\frac{3}{2}$，
即为2a=bc²，
又ab=1，即a=$\frac{1}{b}$，
c²=a²+b²，
可得a=b=1，c=$\sqrt{2}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，考查直线方程求交点，属于中档题．