Question

过点（1，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最小时，直线l的方程是

 

．

Answer 1

分析：可设出直线的斜率为k，根据题意可知k＜0，又过（1，2）得到直线方程为y-2=k（x-1），则分别令y=0和x=0求出A和B两点坐标，然后表示出面积的关系式，求出面积最小时k的值，然后代入得到直线l的方程即可．

解答：解：设直线的斜率为k，且由直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点得到k＜0，
所以直线l的方程为：y-2=k（x-1）即kx-y+2-k=0，令x=0，得到y=2-k，所以B（0，2-k）；令y=0，得到x=1-

2

k

，所以A（1-

2

k

，0）
由k＜0，则三角形AOB的面积为S=

1

2

（2-k）（1-

2

k

）=

1

2

（4-

4

k

-k）≥

1

2

[4+2

(- 4 k )•(-k)

]=4，
当且仅当-

4

k

=-k即k=±2，因为k＜0，所以k=-2，
所以直线方程为2x+y-4=0
故答案为2x+y-4=0

点评：考查学生会求直线与x轴、y轴的截距，会利用基本不等式求面积的最小值，会写出直线的一般式方程．