Question

过点（1，2）的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：由题意可设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，a＞0，b＞0．由于直线l过点（1，2），代入直线方程得到

1

a

+

2

b

=1．利用基本不等式即可得出ab的最小值，取得最小值时a，b，即可得到直线l的方程．

解答：解：由题意可设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，a＞0，b＞0．
∵直线l过点（1，2），
∴

1

a

+

2

b

=1．
∴1=

1

a

+

2

b

≥2

2 ab

，
∴ab≥8，当且仅当

1

a

=

2

b

=

1

2

，即a=2，b=4是取等号．
此时△AOB的面积取得最小值

1

2

ab即4，直线l的方程为

x

2

+

y

4

=1，即2x+y-4=0．

点评：本题考查了直线的截距式方程、基本不等式的性质、三角形的面积，属于基础题．