Question

△AOB是边长为1的等边三角形，O是原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线的方程是（　　）

• A、y2=

  3

  6

  x
• B、y2=±

  3

  6

  x
• C、y2=-

  3

  6

  x
• D、y2=±

  3

  3

  x

Answer 1

分析：设抛物线开口向右时方程为y²=2px，根据AB⊥x轴且等边△AOB的边长为1，算出点A的坐标并代入抛物线方程，算出2p=

3

6

，可得抛物线的方程为y²=

3

6

x．同理，当抛物线开口向左时方程为y²=-

3

6

x，从而得到答案．

解答：解：不妨设点A在x轴的上方，
当抛物线开口向右时，设其方程为y²=2px，
∵等边三角形△AOB是边长为1，AB⊥x轴，
∴设AB交x轴于点M，
则|OM|=

3

2

|AB|=

3

2

，|AM|=

1

2

|AB|=

1

2

，
由此可得点A的坐标为（

3

2

，

1

2

），
代入抛物线方程，得（

1

2

）²=2p×

3

2

，解得2p=

3

6

，
因此，抛物线的方程为y²=

3

6

x．
同理可得：抛物线开口向左时，其方程为y²=-

3

6

x．
综上所述，过A、B的抛物线的方程是y²=

3

6

x或y²=-

3

6

x．
故选：B

点评：本题给出边长为1的正△AOB是抛物线的内接三角形，求抛物线的方程．着重考查了等边三角形的性质、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．