Question

已知四棱锥S-ABCD中，△SAD是边长为2的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，O为AD的中点，Q为SB的中点，H为OQ的中点．
（1）求证：OQ∥平面SCD；
（2）求二面角D-OC-Q的余弦值；
（3）证明：在△AOB内存在一点M，使HM⊥平面QOC．

Answer 1

分析：（1）做出辅助线，作辅助线的原则是有中点找中点，取SC中点R，连接QR，DR，根据线面平行的判定定理，在平面上找出一条直线与已知直线平行．
（2）连接SO，BO，在△OAB中，OB⊥OA，得到OA，OB，OS两两垂直，这样建立坐标系，写出要用的点的坐标，看出一个平面的法向量，再设出一个平面的法向量，根据两个向量的夹角得到二面角的余弦值．
（3）根据上一问设出的坐标系，写出要用到点的坐标，根据线与面垂直，得到关于x，y的值，经检验M坐标满足在△AOB内存在一点M，使HM⊥平面QOC．

解答：解：（1）取SC中点R，连接QR，DR，
由题意知OD∥BC，OD=

1

2

BC，QR∥BC，QR=

1

2

BC，QR∥OD，QR=OD
所以OQ∥DR，又OQ?平面SCD，DR?平面SCD
所以OQ∥平面SCD
（2）连接SO，BO，在△OAB中，OB⊥OA
又因为平面SAD⊥平面ABCD，
所以OS⊥AD，
所以OS⊥平面ABCD
所以OA，OB，OS两两垂直
如图，建系O(0，0，0)，S(0，0，

3

)，B(0，

3

，0)，C(-2，

3

，0)Q(0，

3

2

，

3

2

)
平面OCD的法向量为

OS

=(0，0，

3

)
设

n

=(x，y，z)为平面OQC的一个法向量
由

n • OQ =0 n • OC =0

得

3 2 y+ 3 2 z=0 -2x+ 3 y=0

取z=1得cos＜

n

，

OS

＞=

n• OS

| n |•| OS |

=

2 22

11

二面角D-OC-Q的余弦值为-

2 11

11

（3）设点M（x，y，0），H(0，

3

4

，

3

4

)，

HM

=(x，y-

3

4

，-

3

4

)，HM⊥平面QOC，
∴

x=(- 3 2 )(- 3 4 )= 3 8 y= 3 4 + 3 4 = 3 2

在△AOB内部区域满足不等式组

x＞0 y＞0 x+ y 3 ＜1

经检验M坐标满足
在△AOB内存在一点M，使HM⊥平面QOC

点评：本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角和距离的问题，本题解题的关键是建立合适的坐标系，把逻辑性很强的理论推导转化成数字的运算，降低了题目的难度．